如图所示，矩形区域MNPQ内有水平向右的匀强电场，虚线框外为真空区域；半径为R、内壁光滑、内径很小的绝缘半圆管ADB固定在竖直平面内，直径AB垂直于水平虚线MN

题型：不详难度：来源：

如图所示，矩形区域MNPQ内有水平向右的匀强电场，虚线框外为真空区域；半径为R、内壁光滑、内径很小的绝缘半圆管ADB固定在竖直平面内，直径AB垂直于水平虚线MN，圆心O恰在MN的中点，半圆管的一半处于电场中．一质量为m，可视为质点的带正电电荷量为q的小球从半圆管的A点由静止开始滑入管内，小球从B点穿出后，能够通过B点正下方的C点．重力加速度为g，小球在C点处的加速度大小为5g/3．求：
（1）匀强电场场强E；
（2）小球在B点时，半圆轨道对它作用力的大小；
（3）要使小球能够到达B点正下方C点，虚线框MNPQ的高度和宽度满足什么条件；
（4）小球从B点计时运动到C点过程中，经多长时间小球的动能最小．

答案

（1）由于小球在C处受到重力和电场力的共同作用，所以：
C点：F合=ma=

(qE)2+m2g2

代入数据得：E=

4mg

3q

       
（2）A→B的过程重力和电场力对小球做功，mg•(2R)-FR=

1

2

mvB2
    得：vB=

4gR 3

在B点N-mg=

mvB2

R

   半圆轨道对小球的作用力 N=

7

3

mg
（3）小球从B→C   水平方向匀减速运动，竖直方向自由落体运动
ax=

4

3

ga_y=g
设向左减速时间为tt=

vB

ax

=

3R 4g

    x=

1

2

vBt=

R

2

    y=

1

2

g(2t)2=

3R

2

宽度应满足条件L＞2R，
高度满足条件H≥

5

2

R
（4）当F与mg的合力与v垂直时，小球的动能最小，设经过的时间为t∴vy=

4

3

vxv_y=gtvx=vB-

4

3

gt
∴t=

8

25

3R g

答：（1）匀强电场场强E=

4mg

3q

；
（2）小球在B点时，半圆轨道对它作用力的大小N=

7

3

mg；
（3）要使小球能够到达B点正下方C点，虚线框MNPQ的高度和宽度满足H≥

5

2

R；
（4）小球从B点计时运动到C点过程中，经t=

8

25

3R g

时间小球的动能最小．