如图甲所示，MNCD为一足够长的光滑绝缘斜面，EFGH范围内存在方向垂直斜面的匀强磁场，磁场边界EF、HG与斜面底边MN（在水平面内）平行．一正方形金属框abc

题型：南通模拟难度：来源：

如图甲所示，MNCD为一足够长的光滑绝缘斜面，EFGH范围内存在方向垂直斜面的匀强磁场，磁场边界EF、HG与斜面底边MN（在水平面内）平行．一正方形金属框abcd放在斜面上，ab边平行于磁场边界．现使金属框从斜面上某处由静止释放，金属框从开始运动到cd边离开磁场的过程中，其运动的v-t图象如图乙所示．已知金属框电阻为R，质量为m，重力加速度为g，图乙中金属框运动的各个时刻及对应的速度均为已知量，求：



（1）斜面倾角的正弦值和磁场区域的宽度；
（2）金属框cd边到达磁场边界EF前瞬间的加速度；
（3）金属框穿过磁场过程中产生的焦耳热．

答案

（1）由图乙可知，在0～t₁时间内金属框运动的加速度
            a₁=

v1

t1

         设斜面的倾角θ，由牛顿第二定律有  a₁=gsinθ
            解得  sinθ=

v1

gt1

        在t₁～2t₁时间内金属框匀速进入磁场，则  l₀=v₁t₁
        在2t₁～3t₁时间内，金属框运动位移  s=

3v1t1

2

        则磁场的宽度  d=l₀+s=

5v1t1

2

（2）在t₂时刻金属框cd边到达EF边界时的速度为v₂，设此时加速度大小为a₂，
     cd边切割磁场产生的电动势   E=Bl₀v₂         
      受到的安培力   F=

BEl0

R

     由牛顿第二定律  F-mgsinθ=ma₂
     金属框进入磁场时  mgsinθ=

B2v12l0

R

   
          解得  a₂=

v2-v1

t1

     加速度方向沿斜面向上．
（3）金属框从t₁时刻进入磁场到t₂时刻离开磁场的过程中，由功能关系得mg(d+l0)•sinθ=

1

2

m

v

22

-

1

2

m

v

21

+Q
           解得  Q=4m

v

21

-

1

2

m

v

22

地
答：（1）斜面倾角的正弦值等于

v1

gt1

，磁场区域的宽度s=

5v1t1

2

；
    （2）金属框cd边到达磁场边界EF前瞬间的加速度大小为

v2-v1

t1

，方向沿斜面向上．
    （3）金属框穿过磁场过程中产生的焦耳热 Q=4m

v

21

-

1

2

m

v

22

．