如图1所示，A、B为水平放置的平行金属板，板间距离为d（d远小于板的长和宽）．在两板的中心各有小孔O和O’，O和O’处在同一竖直线上．在两板之间有一带负电的质点

题型：不详难度：来源：

如图1所示，A、B为水平放置的平行金属板，板间距离为d（d远小于板的长和宽）．在两板的中心各有小孔O和O’，O和O’处在同一竖直线上．在两板之间有一带负电的质点P．已知A、B间所加电压为U₀时，质点P所受的电场力恰好与重力平衡．现在A、B 间加上如图2所示随时间t作周期性变化的电压U，已知周期T=

12d g

（g为重力加速度）．在第一个周期内的某一时刻t₀，在A、B 间的中点处由静止释放质点P，一段时间后质点P从金属板的小孔飞出．
（1）t₀在什么范围内，可使质点在飞出小孔之前运动的时间达到最短？
（2）t₀在哪一时刻，可使质点P从小孔飞出时的速度达到最大？

答案

设质点P的质量为m，电量大小为q，根据题意，当A、B间的电压为U₀时，有
    q

U0

d

=mg                           
   当两板间的电压为2U₀时，P的加速度向上，其大小为a₁，则
    q 

U0

d

-mg=ma₁         解得 a₁=g                           
   当两板间的电压为-2U₀时，P的加速度向下，其大小为a₂，则
    q

U0

d

+mg=ma₂         解得 a₂=3g            
（1）要使质点在飞出小孔之前运动的时间达到最短，须使质点释放后一直向下加速运动．设质点释放后经过时间t到达小孔O′，则 
        

1

2

d=

1

2

a2t2     解得 t=

d 3g

                       
    因为周期T=

12d g

，所以t＜

T

2

    质点到达小孔之前能一直加速．因此要使质点在飞出小孔之前运动的时间达到最短，质点释放的时刻t₀应
    满足

T

2

≤t0≤T-t，即

3d g

≤t₀≤5

d 3g

                   
（2）要使质点P从小孔飞出时的速度达到最大，须使质点释放后先向上加速、再向上减速运动，在到达小孔O时速度减为0，然后向下加速运动直到小孔O’．
设质点释放后向上加速时间为t₁、向上减速时间为t₂，则
                         v₁=gt₁  0=v₁-3gt₂  
                         

1

2

d=

1

2

g

t

21

+(v1t2-

1

2

3g

t

22

)       
     由以上各式解得
  t₁=

3d 4g

                   t₂=

d 12g

                  
因为t₁＜

T

2

，t₂＜

T

2

因此质点P能向上先加速后减速恰好到达小孔O．设质点从小孔O向下加速运动到小孔O’经过的时间为t₃，则
       d=

1

2

3g

t

23

              
 解得t₃=

2d 3g

 
    因为t₂+t₃=

(1+2 2 )

2 3

d g

＜

T

2

，因此质点P能从小孔O向下一直加速运动到小孔O’，
此时质点P从小孔O’飞出时的速度达到最大．因此，要使质点P从小孔飞出时的速度达到最大，质点P释放的时刻应为
  t₀=

T

2

-t1=

3d 4g

故答案为：（1）

3d g

≤t₀≤5

d 3g

   （2）

3d 4g