摩天大楼中一部直通高层的客运电梯．行程超过百米．电梯的简化模型如下所示．电梯的加速度a随时间t变化的．已知电梯在t=0时由静止开始上升，a一t图象如图2所示．电

题型：不详难度：来源：

摩天大楼中一部直通高层的客运电梯．行程超过百米．电梯的简化模型如下所示．电梯的加速度a随时间t变化的．已知电梯在t=0时由静止开始上升，a一t图象如图2所示．电梯总质最m=2.0x10³kg．忽略一切阻力．重力加速度g取10m/s²．求
（1）电梯在上升过程中受到的最大拉力F₁和最小拉力F₂；
（2）类比是一种常用的研究方法．对于直线运动，教科书中讲解了由v-t图象求位移的方法．请你借鉴此方法，对比加速度的和速度的定义，根据图2所示a-t图象，求电梯在第1s内的速度改变量△v₁和第2s末的速率v₂；
（3）电梯以最大速率上升时，拉力做功的功率p；
（4）求在0～11s时间内，拉力和重力对电梯所做的总功w．

答案

解；（1）由牛顿第二定律，有 F-mg=ma
由a─t图象可知，F₁和F₂对应的加速度分别是a₁=1.0m/s²，a₂=-1.0m/s²
则
  F₁=m（g+a₁）=2.0×10³×（10+1.0）N=2.2×10⁴N
  F₂=m（g+a₂）=2.0×10³×（10-1.0）N=1.8×10⁴N
（2）通过类比可得，电梯的速度变化量等于第1s内a─t图线下的面积
△υ₁=0.50m/s
同理可得，△υ₂=υ₂-υ₀=1.5m/s
υ₀=0，第2s末的速率υ₂=1.5m/s
（3）由a─t图象可知，11s～30s内速率最大，其值等于0～11s内a─t图线下的面积，有
  υ_m=10m/s
此时电梯做匀速运动，拉力F等于重力mg，所求功率
P=Fυ_m=mg•υ_m=2.0×10³×10×10W=2.0×10⁵W
（4）由动能定理，总功
W=E_k2-E_k1=

1

2

mυ_m²-0=

1

2

×2.0×10³×10²J=1.0×10⁵J
答：
（1）电梯在上升过程中受到的最大拉力F₁是2.2×10⁴N，最小拉力F₂是1.8×10⁴N．
（2）电梯在第1s内的速度改变量△υ₁是0.50m/s，第2s末的速率υ₂是1.5m/s．
（3）电梯以最大速率上升时，拉力做功的功率P为2.0×10⁵W；
（4）在0─11s时间内，拉力和重力对电梯所做的总功W是1.0×10⁵J．