在半径为R的某星球上，从高为h的平台上水平踢出一球，欲击中水平面上的A点，若两次踢球的方向都相同，第一次初速度为v1，着地点比A近了a，第二次初速度为v2，着地

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在半径为R的某星球上，从高为h的平台上水平踢出一球，欲击中水平面上的A点，若两次踢球的方向都相同，第一次初速度为v₁，着地点比A近了a，第二次初速度为v₂，着地点却比A远了b，已知万有引力常量为G，求该星球的质量．

答案

物体两次做平抛运动，两次下落高度一样，竖直方向h=

gt2，则g=

，①
由几何关系可知v₁t+a=v₂t-b，所以t=

a+b

v2-v1

，②
设星球质量为M，表面处一个物体质量为m
对表面物体，万有引力等于重力G

=mg，则M=

gR2

③
联立①②③式得M=

2hR2(v2-v1)2

G(a+b)2

．
答：星球的质量M=

2hR2(v2-v1)2

G(a+b)2

．

举一反三

一宇航员到达半径为R，密度均匀的某星球表面，做如下实验，用不可伸长的轻绳拴一质量为m的小球，上端固定在O点，如图甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕O点在竖直平面内做圆周运动，测得绳的拉力大小随时间t的变化规律如图乙所示，F₁=7F₂，设R、m、引力常量G、F₁、F₂均为己知量，忽略各种阻力，以下说法正确的是（　　）

A．小球在最高点的最小速度为零

B．卫星绕该星的第一宇宙速度为

RF2

C．该星球表面的重力加速度为

D．星球的质量为

F2R2

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已知引力常量G，则还需知道下面哪一选项中的数据，可以计算地球的质量？（　　）

A．已知地球绕太阳运行的周期及地球中心到太阳中心的距离

B．已知月球绕地球运行的周期及月球中心到地球中心的距离

C．已知人造地球卫星在地面附近绕行的速度

D．已知地球同步卫星离地面的高度

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2012年7月，一个国际研究小组借助于智利的甚大望远镜，观测到了一组双星系统，它们绕两者连线上的某点O做匀速圆周运动，如图所示．此双星系统中体积较小成员能“吸食”另一颗体积较大星体表面物质，达到质量转移的目的，假设在演变的过程中两者球心之间的距离保持不变，则在最初演变的过程中（　　）

A．它们做圆周运动的万有引力保持不变

B．它们做圆周运动的角速度不断变大

C．体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度也变大

D．体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度变小

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（A选做）宇航员登上某一星球并在该星球表面做实验，用一根不可伸缩的轻绳跨过轻质定滑轮，一端挂一吊椅，另一端被坐在吊椅上的宇航员拉住，如图所示．宇航员的质量m₁=65kg，吊椅的质量m₂=15kg，当宇航员与吊椅以a=1m/s²的加速度匀加速上升时，宇航员对吊椅的压力为l75N．（忽略定滑轮摩擦）
（1）求该星球表面的重力加速度g；
（2）若该星球的半径6×10⁵，地球半径6.4×10⁶，地球表面的重力加速度10m/s²，求该星球的平均密度与地球的平均密度之比．

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“嫦娥二号”卫星成功发射，这次发射后的卫星直接进入近地点高度200公里、远地点高度约为38万公里的地月转移轨道直接奔月，当卫星到达月球附近的特定位置时，卫星就必须“急刹车”，也就是近月制动，以确保卫星既能被月球准确捕获，又不会撞上月球，并由此进入近月点100公里、周期为12小时的椭圆轨道a，再经过两次轨道调整，进入100公里的近月圆轨道b，轨道a和b相切与P点，如图所示，下列说法正确的是（　　）

A．“嫦娥二号”卫星的发射速度大于7.9km/s，小于11.2km/s

B．“嫦娥二号”卫星的发射速度大于11.2km/s

C．“嫦娥二号”卫星在轨道a、b上经过P点时的速度大小相等

D．“嫦娥二号”卫星轨道a、b上经过P点时加速度相等

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