半径为R、质量为M的铅球内有一半径为R/2的球形空腔，空腔表面与铅球面内切，求这个空腔铅球以多大的力吸引质量为m的小球（体积不计）．已知小球离铅球中心的距离为d

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半径为R、质量为M的铅球内有一半径为R/2的球形空腔，空腔表面与铅球面内切，求这个空腔铅球以多大的力吸引质量为m的小球（体积不计）．已知小球离铅球中心的距离为d，且在铅球中心与空腔中心的连线上，如图所示．

答案

（4GmM/7）［2/d²-1/(2d-R)²］

解析

解析一：如图所示，设想把挖去部分用与铅球同密度的材料填充，填充后铅球的质量为M₀.为了抵消填充球体产生的引力，我们在右边等距处又放置一个等质量的球体，球体质量为M₁，由前面运算知M₁=M/7，M₀=M+M₁=8M/7.则

F=F₀-F₁=GmM₀/d²-GmM₁/(d-R/2)²=8GmM/7d²-4GmM/7(2d-R)²=(4GmM/7)［2/d²-1/(2d-R)²］.
解析二：如图所示，设想把挖去部分用与铅球同密度的材料填充，填充后铅球的质量为M₀，则完整铅球对小球的吸引力可以看成是空腔铅球对小球的引力F₁与填充材料对小球的引力的合力即F₀=F₁+F₂则F₁=F₀-F₂=GmM₀/d²-GmM₁/(d-R/2)²=8GmM/7d²-4GmM/7(2d-R)²=(4GmM/7)［2/d²-1/(2d-R)²］.

举一反三

关于引力常量G，下列说法正确的是（）

A．G在数值上等于两个质量都是1 kg的物体相距1 m时的相互作用力

B．G的单位是kg²/N·m²

C．G是对任何彼此吸引的有质量物体都适用的普适常量

D．G只是对地球上的物体才适用的常量

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猜想、检验是科学探究的两个重要环节．月－地检验为万有引力定律的发现提供了事实依据．请你完成如下探究内容：（1）已知地球中心与月球的距离r=60R (R为地球半径，R=6400km)，计算月球由于受到地球的万有引力而产生的加速度

；（2）已知月球绕地球运转的周期为27.3天，地球中心与月球的距离r=60R，计算月球绕地球运动的向心加速度

．

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（1）该位置处的重力加速度g′是地面处重加速度g的多少倍？
（2）该位置距地球表面的高度h为多大？

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（1）试在图中粗略画出恒星运动的轨道和位置；
（2）试计算恒星与点C间的距离和恒星的运行速率v．

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中子星是恒星演变到最后的一种存在形式．
(1)有一密度均匀的星球，以角速度ω绕自身的几何对称轴旋转．若维持其表面物质不因快速旋转而被甩掉的力只有万有引力，那么该星球的密度至少要多大?
(2)蟹状星云中有一颗中子星，它每秒转30周，以此数据估算这颗中子星的最小密度．
(3)若此中子星的质量约为太阳的质量(2×10³⁰ kg)，试问它的最大可能半径是多大?

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