如图所示，倾角均为θ=45°的固定光滑金属直轨道ce和c"e"，与半径为r的竖直光滑绝缘圆弧轨道abc和a"b"c"分别相切于c和c"点，两切点与对应圆心的连线

题型：泉州模拟难度：来源：

如图所示，倾角均为θ=45°的固定光滑金属直轨道ce和c"e"，与半径为r的竖直光滑绝缘圆弧轨道abc和a"b"c"分别相切于c和c"点，两切点与对应圆心的连线和竖直方向夹角均为θ=45°，e和e"间接有阻值为R的电阻，矩形cc"d"d区域内存在与该平面垂直的磁场，磁感应强度B=B₀sin（x），式中x为沿直轨道向下离开边界dd"的距离，且，长度也为L、阻值为R的导体棒在外力作用下，从磁场边界dd"沿直轨道向下匀速通过磁场，到达边界cc"时撤去外力，导体棒恰能沿圆弧轨道通过最高处aa"，金属轨道电阻及空气阻力均不计，重力加速度为g，求：
（1）导体棒通过aa"时速度υ的大小；
（2）导体棒匀速通过磁场时速度υ₀的大小；
（3）导体棒匀速通过磁场过程中棒上产生的热量Q．

答案

（1）设导体棒质量为m，恰好通过圆弧轨道最高处aa′满足mg=m

v2

r

解得υ=

gr

（2）导体棒从边界cc′运动到最高处aa′过程中，根据机械能守恒定律得

1

2

m

v

20

=

1

2

mυ²+mg（r+rcosθ）                                  
解得υ₀=

(3+ 2 )gr

（3）导体棒匀速通过磁场区域历时t=

l

v0

棒中正弦式交流电的感应电动势e=BLυ₀=B₀Lυ₀sin（υ₀t）         
棒中电流的最大值I_m=

B0Lv0

2R

=

(3+ 2 )gr B0L

2R

棒中电流的有效值I_有=

B0Lv0 2R

2

=

(3+ 2 )gr B0L

2 2 R

导体棒产生的热量Q=I_有²Rt=

(3+ 2 )gr B 20 L2l

8R

答：（1）导体棒通过aa"时速度υ的大小是

gr

；
（2）导体棒匀速通过磁场时速度υ₀的大小是

(3+ 2 )gr

；
（3）导体棒匀速通过磁场过程中棒上产生的热量是

(3+ 2 )gr B 20 L2l

8R

．