已知a＞0且a≠1，f（logax）=1a2-1（x-1x）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）试判定函数f（x）的奇偶性与单调性，并证明．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知a＞0且a≠1，f（log_ax）=

1

a2-1

（x-

1

x

）．
（1）求函数f（x）的解析式；（2）试判定函数f（x）的奇偶性与单调性，并证明．

答案

（1）令log_ax=t，则x=a^t，得f（t）=（a^t-a^-r），（4分）
所以f（x）=

1

a2-1

（a^x-a^-x）（6分）
（2）因为f（x）定义域为R，
又f（-x）=

1

a2-1

（a^-x-a^x）
=-

1

a2-1

（a^x-a^-x）=-f（x），
所以函数f（x）为奇函数（9分）
任取x₁＜x₂
则f（x₂）-f（x₁）=

1

a2-1

（ax2-ax1）（1+a-(x1+x2)）（11分）
因为当a＞0且a≠1，恒有f（x₂）-f（x₁）＞0，
所以f（x）为增函数（13分）