如图所示，两平行光滑的金属导轨MN、PQ固定在水平面上，相距为L，处于竖直方向的磁场中，整个磁场由若干个宽度皆为d的条形匀强磁场区域1、2、3、4……组成，磁感

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如图所示，两平行光滑的金属导轨MN、PQ固定在水平面上，相距为L，处于竖直方向的磁场中，整个磁场由若干个宽度皆为d的条形匀强磁场区域1、2、3、4……组成，磁感应强度B₁、B₂的方向相反，大小相等，即B₁=B₂=B。导轨左端MP间接一电阻R，质量为m、电阻为r的细导体棒ab垂直放置在导轨上，与导轨接触良好，不计导轨的电阻。现对棒ab施加水平向右的拉力，使其从区域1磁场左边界位置开始以速度v₀向右作匀速直线运动并穿越n个磁场区域。
（1）求棒ab穿越区域1磁场的过程中电阻R产生的焦耳热Q；
（2）求棒ab穿越n个磁场区域的过程中拉力对棒ab所做的功W；
（3）规定棒中从a到b的电流方向为正，画出上述过程中通过棒ab的电流I随时间t变化的图象；
（4）求棒ab穿越n个磁场区域的过程中通过电阻R的净电荷量q。

答案

解：（1）棒产生的感应电动势

通过棒的感应电流

电阻R产生的焦耳热

（2）拉力对棒ab所做的功

（3）

（4）若n为奇数，通过电阻R的净电荷量

若n为偶数，通过电阻R的净电荷量

举一反三

如图所示，倾角均为θ=45°的固定光滑金属直轨道ce和c"e"，与半径为r的竖直光滑绝缘圆弧轨道abc和a"b"c"分别相切于c和c"点，两切点与对应圆心的连线和竖直方向夹角均为θ=45°，e和e"间接有阻值为R的电阻，矩形cc"d"d区域内存在与该平面垂直的磁场，磁感应强度

，式中x为沿直轨道向下离开边界dd"的距离，且

，长度也为L、阻值为R的导体棒在外力作用下，从磁场边界dd"沿直轨道向下匀速通过磁场，到达边界cc"时撤去外力，导体棒恰能沿圆弧轨道通过最高处aa"，金属轨道电阻及空气阻力均不计，重力加速度为g，求：
（1）导体棒通过aa"时速度υ的大小；
（2）导体棒匀速通过磁场时速度υ₀的大小；
（3）导体棒匀速通过磁场过程中棒上产生的热量Q。

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如图所示为两根间距不等的光滑金属导轨MN、PQ，它们水平放置在竖直向下的匀强磁场中。导轨的一端接入电阻

=10Ω和电流表，另一端接入电阻

=5Ω。质量为m=0.1kg的金属棒横放在导轨上。当它以初速度

=4m/s从ab处滑到a′b′处，用时t=0.08s。导轨间距

=0.4m，

=0.8m。若金属滑动时电流表读数始终不变。不计电流表棒与导轨的电阻和摩擦。试求：
（1）电流表的读数；
（2）磁感应强度。

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如图所示，竖直放置的足够长平行光滑金属导轨ab、cd，处在垂直导轨平面向里的水平匀强磁场中，其上端连接一个阻值为R=0.40Ω的电阻；质量为m=0.01kg、电阻为r=0.30Ω的金属棒MN紧贴在导轨上，保持良好接触。现使金属棒MN由静止开始下滑，通过位移传感器测出下滑的位移大小与时间的关系如下表所示，导轨电阻不计，重力加速度g取l0m/s²。试求：

（1）当t=1.0s瞬间，电阻R两端电压U大小；
（2）金属棒MN在开始运动的前1s内，电阻R上产生的热量；
（3）从开始运动到t=1.0s的时间内，通过电阻R的电量。

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如图甲所示，长方形金属框abcd（下面简称方框）。各边长度为ac=bd=1/2、ab=cd=l，方框外侧套着一个内侧壁长分别为l/2及t的u形金属框架MNPQ（下面简称U形框），U形框与方框之间接触良好且无摩擦。两个金属框的质量均为m，PQ边、ab边和cd边的电阻均为r，其余各边电阻可忽略不计，将两个金属框放在静止在水平地面上的矩形粗糙平面上，将平面的一端缓慢抬起，直到这两个金属框都恰能在此平面上匀速下滑，这时平面与地面的夹角为θ，此时将平面固定构成一个倾角为θ的斜面，已知两框与斜面间的最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，在斜面上有两条与斜面底边垂直的、电阻可忽略不计，且足够长的光滑金属轨道，两轨道间的宽度略大于l，使两轨道能与U形框保持良好接触，在轨道上端接有电压传感器并与计算机相连，如图乙所示，在轨道所在空间存在垂直于轨道平面向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场。
（1）若将方框固定不动，用与斜面平行，且垂直PQ边向下的力拉动U形框，使它匀速向下运动，在U形框与方框分离之前，计算机上显示的电压为恒定电压U_o，求U形框向下运动的速度；
（2）若方框开始时静止但不固定在斜面上，给U形框垂直PQ边沿斜面向下的初速度v₀，如果U形框与方框能不分离而一起运动，求在这一过程中电流通过方框产生的焦耳热；
（3）若方框开始时静止但不固定在斜面上，给U形框垂直PQ边沿斜面向下的初速度3v₀，U形框与方框将会分离，求在二者分离之前U形框速度减小到2v₀时，方框的加速度。
注：两个电动势均为E、内阻均为r的直流电源，若并联在一起，可等效为电动势仍为E，内电阻为r/2的电源；若串联在一起，可等效为电动势为2E，内电阻为2r 的电源。

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如图所示，宽度为L=0.20 m的足够长的平行光滑金属导轨固定在绝缘水平桌面上，导轨的一端连接阻值为的电阻，导轨cd段右侧空间存在垂直桌面向上的匀强磁场，磁感应强度B=0.50t，一根质量为m=10g，电阻的导体棒ab垂直放在导轨上并与导轨接触良好，现用一平行于导轨的轻质细线将导体棒ab与一钩码相连，将重物从图示位置由静止释放，当导体棒ab到达cd时，钩码距地面的高度为h=0.3m。已知导体棒ab进入磁场时恰做v=10m/s的匀速直线运动，导轨电阻可忽略不计，取g=10m/s²。求：
（1）导体棒ab在磁场中匀速运动时，闭合回路中产生的感应电流的大小；
（2）挂在细线上的钩码的重力大小；
（3）求导体棒ab在磁场中运动的整个过程中电阻R上产生的热量。

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