幂函数的导数公式的证明

题目

幂函数的导数公式的证明
证明：y=x^a
两边取对数lny=alnx
两边对x求导(1/y)*y'=a/x
所以y'=ay/x=ax^a/x=ax^(a-1)
还有，两边对x求导时得到的(1/y)*y'=a/x为什么要乘以y'啊

答案

1、y = f(x) 表示的是 y 是 x 函数；
2、y 对 x 求导,我们习惯写成y‘,国际上绝大多数国家习惯写成 dy/dx；
3、国际上也有少数国家习惯简写的导数表达式 y’,而我们是执着于 y‘,执迷于 y‘；
4、执着的结果,我们很多学生,不知道 y’ 的真正含义是 dy/dx,是无穷小之商；
5、由于很多教师并不讲究教学心理学、对教学法不屑一顾,很多学生就失去了本能的悟性；
6、lny 首先是 y 的函数,y 又是 x 的函数,所以,lny 也是 x 的函数；
7、lny 是一目了然的,是显而易见的,是直截了当的,所以称它为显函数,explicit function；
8、设 u = lny,u 是 y 的显函数,它也是 x 的函数,由于是隐含的,称为隐函数,implicit；
9、u 对 y 求导是 1/y,这是对 y 求导,不是对 x 求导；
10、u 是 x 的隐函数,u 对 x 求导,用链式求导,chain rule；
11、u 对 x 的求导,是先对 y 求导,然后乘上 y 对 x 的求导,也就是：
du/dy = 1/y
du/dx = (du/dy) × (dy/dx) = (1/y) × y' = (1/y)y'.
欢迎追问.