设O为坐标原点,A,B,C是坐标平面上的3个不同点,向量OA=向量a,向量OB=向量b,向量OC=向量c.求证：若A,B,C三点共线,则存在三个不全为0的实数l,m,n,使l向量a+m向量b+n向量c

题目

设O为坐标原点,A,B,C是坐标平面上的3个不同点,向量OA=向量a,向量OB=向量b,向量OC=向量c.求证：若A,B,C三点共线,则存在三个不全为0的实数l,m,n,使l向量a+m向量b+n向量c=0且l+m+n=0

答案

设A B,C共线,a-b＝t（a-c）[t∈R],（1-t）a+（-1）b+tc＝0取l＝1-t,m＝-1,n＝t即可.反之,设la+mb+nc＝0,l+m+n＝0.b不妨设l≠0.有m/l＝-1-n/la+（m/l）b+（n/l）c＝0＝a+[-1-n/l]b+（n/l）ca-b＝（n/l）（b-c）,BA＝...