已知x+y+z=19,求u=根号(x^2+4)+根号(y^2+9)+根号(z^2+16) 的和的最小值.
题目
已知x+y+z=19,求u=根号(x^2+4)+根号(y^2+9)+根号(z^2+16) 的和的最小值.
答案
柯西不等式:(a²+b²)(c²+d²)≥(ac+bd)² 等号成立条件:ad=bc,即a/c=b/d
椐柯西不等式,得
[√(x²+4)+√(y²+9)+√(z²+16)]²
=x²+4+y²+9+z²+16+2√[(x²+4)(y²+9)]+2√[(y²+9)(z²+16)]+2√[(z²+16)(x²+4)]
≥x²+4+y²+9+z²+16+2(xy+6)+2(yz+12)+2(zx+8)
=(x+y+z)²+(2+3+4)²
=442
故当且仅当x/y=2/3,y/z=3/4,z/x=4/2,
即x=38/9,y=19/3,z=76/9时等号成立,
此时u|min=√442.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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