数列{an}中，前n项和Sn=2n-1，求证：{an}是等比数列．

题目

数列{a_n}中，前n项和S_n=2ⁿ-1，求证：{a_n}是等比数列．

答案

证明：当n=1时，a₁=S₁=2¹-1=1．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ-1）-（2^n-1-1）=2ⁿ-2^n-1=2^n-1．
又当n=1时，2^n-1=2^1-1=1=a₁，
∴a_n=2^n-1．
∴

an+1

an

=

2(n+1)−1

2n−1

=2（常数），
∴{a_n}是等比数列．