已知椭圆的两个焦点为F1(-根号3,0),F2(根号3,0),通过F1,且垂直于F1F2的弦长为1,求此椭圆的方程

题目

已知椭圆的两个焦点为F1(-根号3,0),F2(根号3,0),通过F1,且垂直于F1F2的弦长为1,求此椭圆的方程

答案

由题意知椭圆的焦点在x轴上,且c=√3,则焦距2c=2√3
设过F1,且垂直于F1F2的弦的两个端点为A.B
则弦长|AB|=1,|AF1|=|AB|/2=1/2
在Rt△AF1F2中,由勾股定理可得：
|AF2|²=|AF1|²+|F1F2|²=1/4 +12＝49/4
解得|AF2|=7/2
则由椭圆的定义可知2a=|AF1|+|AF2|=1/2 +7/2=4,即a=2
又c=√3,则b²=a²-c²=1
所以此椭圆的方程是x²/4 +y²=1