如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°.

题目

如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°.
如图,三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,CA=CB,AB=A A₁,∠BA A₁=60°.
(Ⅰ)证明AB⊥A₁C;
(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA₁B₁B,AB=CB=2,求直线A₁C与平面BB₁C₁C所成角的正弦值.
 
 
第二问要用传统方法解
不要用空间向量

答案

（I）过A1作A1D⊥AB交AB于D,连接CD
因AB=AA1,∠BAA1=60°
易知⊿ABA1为正三角形
则AA1=BA1
所以A1D为AB边的中线,即D为AB中点（三线合一）
又CA=CB,表明⊿ACB为等腰三角形
则CD为AB边上的高,即CD⊥AB（三线合一）
 
因AB⊥A1D,且AB⊥CD
而A1D交CD于平面A1CD
则AB⊥平面A1CD
而A1C⊂平面A1CD
所以AB⊥A1C
 
（I）连接BC1、CB1交于O,连接A1O
过A1作A1H⊥CB1交CB1于H
因CA=CB=AB=AA1（即三棱柱所有棱长相等）
易知四边形BB1C1C为菱形
则BC1⊥CB1
 
又⊿ABA1为正三角形
则A1B=AB=A1C1
由此知⊿BA1C1为等腰三角形
易知BC1⊥A1O（三线合一）
 
又CB1交A1O于平面A1CB1
则BC1⊥平面A1CB1
而A1H⊂平面A1CB1
则A1H⊥BC1
 
又A1H⊥CB1
而BC1交CB1于平面BB1C1C
则A1H⊥平面BB1C1C
由此表明∠A1CH即为A1C与平面BB1C1C所成角的平面角
 
因平面ABC⊥平面AA1B1B
且A1D⊥AB
且A1D⊂平面AA1B1B
且AB为平面ABC与平面AA1B1B的交线
则A1D⊥平面ABC
而CD⊂平面ABC
则A1D⊥CD
表明⊿A1DC为RT⊿
又易知⊿ABA1、⊿ABC均为边长相等的全等正三角形
且D为AB的中点
则A1D=CD
表明RT⊿A1DC为等腰直角三角形
在RT⊿A1DC中,易知A1D=CD=√3
则A1C=√6
 
由（I）知AB⊥A1C
而A1B1//AB
则A1B1⊥A1C
表明⊿A1CB1为RT⊿
由勾股定理知CB1=√10
又A1H⊥CB1
则易知RT⊿A1CB1∽RT⊿A1HB1
于是A1H=A1C*A1B1/CB1=2√15/5
 
在RT⊿A1CH中
由三角函数定义知sin∠A1CH=A1H/A1C=√10/5