请你说明对任意自然数n,式子n(n,n+5)-（n+2）（n-3）的值必然能被6整除.

题目

请你说明对任意自然数n,式子n(n,n+5)-（n+2）（n-3）的值必然能被6整除.
要详细答案,不能乱回答.

答案

1.显然 如果n是3的倍数
3|n 3|(n-3)
则3|[n(n,n+5)-（n+2)(n-3）]
2.假设 3|(n-1)
那么 3|(n+5)进而3|[(n,n+5)]
且有 3|(n+2)
所以 3|[n(n,n+5)-（n+2)(n-3）]
3.假设假设 3|(n-2)
那么 3|[(n,n+5)-2]=>3|n(n,n+5)-1
而 3|(n+2)-1 3|(n-3)-2
那么 3|(n+2)(n-3）-1
故 3|[n(n,n+5)-（n+2)(n-3）]
总上所述,n(n,n+5)-（n+2）（n-3）比能被3整除
注意到 n和n+5不同奇偶,所以2|(n,n+5)
同样的 （n+2）和（n-3）不同奇偶,所以2|(n+2）（n-3）
所以n(n,n+5)-（n+2）（n-3）的值必然能被6整除