由界函数f(x)在[a,b]上Riemann可积的充要条件是f(x)在[a,b]上几乎处处连续的证明

题目

由界函数f(x)在[a,b]上Riemann可积的充要条件是f(x)在[a,b]上几乎处处连续的证明

答案

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回答：huangcizheng
圣人
2月9日 16:08 证：因为f(x)在[a,b]上连续,必可在这区间上取得最大值M有最小值m,即对一切x∈[a,b],有m≤f(x)≤M
所以m≤f(xi)≤M（i=1,2,…,n）
因为m=nm/n≤[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]/n≤nM/n=M
由介值定理,存在ξ∈[a,b],使f(ξ)=[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]/n.
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