设A,B为过抛物线y2=2px的焦点F的弦,直线AB的倾斜角为a,证明三角形OAB面积=p2/2sina.

题目

设A,B为过抛物线y2=2px的焦点F的弦,直线AB的倾斜角为a,证明三角形OAB面积=p2/2sina.

答案

当α=90°时,即AB⊥OF,则有sinα=1
令x=p/2,则y=±p,即AB=2p
于是S⊿OAB=1/2*OF*AB=1/2*p/2*2p=p^2/2=p^2/(2sinα)
当α≠90°时,AB所在直线的斜率为tanα（注意到α≠0°,否则不能形成三角形OAB）
令A(x1,y1),B(x2,y2),且y1>0,y20,x2>0）
由点斜式知AB所在直线：y=tanα(x-p/2)
于是有x=(2y+ptanα)/2tanα（注意到因α≠0°,则tanα≠0）
代入抛物线方程有tanαy^2-2py-p^2tanα=0
由韦达定理有
y1+y2=2p/tanα
y1y2=-p^2
由此有(y1-y2)^2
=(y1+y2)^2-4y1y2
=4p^2(1/tan^2α+1)
=4p^2(cos^2α/sin^2α+sin^2α/sin^2α)
=4p^2/sin^2α
则y1-y2=2p/sinα
易知S⊿OAB
=S⊿OFA+S⊿OFB
=1/2*OF*|y1|+1/2*OF*|y2|
=1/2*p/2*(|y1|+|y2|)
=p/4*(y1-y2)
=p/4*2p/sinα
=p^2/(2sinα)