如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CD平分∠ACB，∠ACB=90°，求证：CA+CB=2CD．

题目

如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CD平分∠ACB，∠ACB=90°，求证：CA+CB=

2

CD．

答案

证明：连接AD，BD，过A作AM⊥CD，过B作BN⊥CD，垂足分别为M、N，
∵AB为直径，CD平分∠ACB交⊙O于D，
∴∠ACD=∠BCD=

1

2

∠ACB=45°，
∴△ACM与△BCN都是等腰直角三角形，AD=BD，
在Rt△ACM中，CM=

2

2

CA，在Rt△BCN中，CN=

2

2

CB，
∴CM+CN=

2

2

（CA+CB），
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADM+∠BDN=90°，
又∵∠BDN+∠DBN=90°，
∴∠ADM=∠DBN，
在△ADM与△BDN中，

∠ADM=∠DBN  ∠AMD=∠DNB=90°  AD=BD

，
∴△ADM≌△BDN（AAS），
∴DN=AM，
又∵AM=CM（等腰直角三角形两直角边相等），
∴CM=DN，
∴CD=CN+DN=CN+CM=

2

2

（CA+CB），
∴CA+CB=

2

CD．

根据直径所对的圆周角是直角，以及角平分线的定义可得∠ACD=∠BCD=45°，过A作AM⊥CD，过B作BN⊥CD，垂足分别为M、N，得到△ACM与△BCN都是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形斜边与直角边的关系可得CM=

2

2

CA，BN=

2

2

CB，再利用角角边定理证明△ADM与△BDN全等，根据全等三角形对应边相等得到DN=AM，所以DN=CM，从而得到CM+CN=DN+CN=CD，整理即可得证．

本题考点：圆周角定理；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰直角三角形．

考点点评：本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的判定与性质，作出辅助线构造出等腰直角三角形与全等三角形是解题的关键．