已知函数f(x)=x分之2-X的M次方,且f(4)=负2分之7.求M的值.2判断f(x)在（0,+00）上的单调性并给予证明!

题目

已知函数f(x)=x分之2-X的M次方,且f(4)=负2分之7.求M的值.2判断f(x)在（0,+00）上的单调性并给予证明!

答案

f（4）=2/4-4^M= -7/2,所以4^M=4,M=1.所以f（x）=2/x-x,f’（x）=2/x²-1=0,x＞0,所以x=√2.当x∈（0,√2）时,f’（x）＞0,f（x）单调递增；当x∈（√2,+∞）时,f’（x）＜0,f（x）单调递减.所以递增区间是（0,√2）,递减区间是（√2,+∞）.
f（log2a）=（log2a-1/2）²+b-1/4=b,f（a）=（a-1/2）²+b-1/4=4,log2a=0或1,a=1（舍去）或2,b=2,所以f（x）=x²-x+2=（x-1/2）²+7/4,当log2x=1/2,x=√2时,有最小值7/4.
f（log2x）=（log2x-1/2）²+7/4＞f（1）=2,log2f（x）＜f（1）=2,f（x）=（x-1/2）²+7/4＞4,
所以log2x＞1或log2x＜0,x＞2或者0＜x＜1,且x＞2或x＜-1（舍去）.所以x∈{x/0＜x＜1或x＞2}