已知x2=x+1，y2=y+1，且x≠y． （1）求证：x+y=1；（2）求x5+y5的值．

题目

已知x²=x+1，y²=y+1，且x≠y．
（1）求证：x+y=1；（2）求x⁵+y⁵的值．

答案

（1）证明：∵x²=x+1，y²=y+1，
∴x²-y²=x-y
∴x+y=1（x≠y）
（2）∵x²=x+1，y²=y+1，∴x³=x²+x，y³=y²+y，x⁴=x³+x²，y⁴=y³+y²，x⁵=x⁴+x³，y⁵=y⁴+y³，
∴x⁵+y⁵
=x⁴+x³+y⁴+y³
=x³+x²+x²+x+y³+y²+y²+y，
=x²+x+x²+x²+x+y²+y+y²+y²+y，
=3（x²+y²）+2（x+y），
=3（x+1+y+1）+2（x+y），
=3×3+2，
=11．