已知函数f(x)=(1/2a)*x的平方+2x,g(x)=lnx

题目

已知函数f(x)=(1/2a)*x的平方+2x,g(x)=lnx
如果函数y=f(x)在[1,正无穷）上是单调增函数,求a的取值范围
是否存在实数a>0,似的方程g(x)/x=f'(x)-(2a+1)在区间(1/e,e)内有且只有两个不相等的实数根?若存在,请求出a的取值范围,若不存在,说明理由.
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答案

1.f'(x)=ax+2,f(x)在x∈[1,+∞)上是单调增函数,则f'(x)≥0恒成立,且f'(x)不恒为0
得ax+2≥0,x∈[1,+∞)恒成立,只需a≤min{-2/x}=-2,x∈[1,+∞)
所以a的取值范围为(-∞,2]
2.若方程g(x)/x=f'(x)-(2a+1)在区间(1/e,e)内有且只有两个不相等的实根,
整理即方程lnx-ax²+(2a-1)x=0在(1/e,e)有两异实根
记g(x)=lnx-ax²+(2a-1)x,x>0,只需g(x)在x∈(1/e,e)有两个零点即可
g'(x)=-2a[ x+1/(2a)](x-1)/x ,x>0
令g'(x)=0,得x1=-1/(2a)