已知双曲线C:x^2/a^2-y^2=1(a>0)与直线I：x+y=1相交于两个不同的点A、B.问①求双曲线C的离心率e的取值范围②设直线I与y轴交点为P,且‘向量’PA=5/12‘向量’PB,求a的

题目

已知双曲线C:x^2/a^2-y^2=1(a>0)与直线I：x+y=1相交于两个不同的点A、B.问①求双曲线C的离心率e的取值范围②设直线I与y轴交点为P,且‘向量’PA=5/12‘向量’PB,求a的值.

答案

1.
把y=1-x代入双曲线方程化简可得(1-a^2)x^2+2a^2x-2a^2=0
在1-a^2不等于0也就是a不等于1的时候,由判别式>0可得a^2<2
所以e^2=c^2/a^2=(1+a^2)/a^2=1+1/a^2属于(1,3/2)
所以e属于(1,根号6/2)
2.
P的坐标是(0,1),设A(x1,y1),B(x2,y2)
由向量PA=5/12向量PB可得
(x1,y1-1)=5/12(x2,y2-1)
所以x1=5/12x2
因为x1+x2=2a^2/(a^2-1),x1x2=2a^2/(a^2-1)
所以x1+x2=x1x2,代入得17/12x2=5/12x2^2
所以x2=17/5,a=17/13