如何理解函数极限

题目

如何理解函数极限
这个里面的概念太抽象了,有点理解不了,简单的计算题还会做,可是证明题就不会了!

答案

在数学分析中,极限的证明往往是用ε-δ语言来证的,而这种证明方式,也是分析数学的最精髓的地方.在下愚钝,在大学毕业之后才慢慢领会这种证明方式的奥妙.ε-δ语言的主要表现方式是,对于函数f(x)在x0的邻域内,对于任意正数ε,δ,有|x-x0|<δ,且|f(x)-A|<ε,则称当x趋近x0时,f(x)趋近于A.这个定义的最大特点是,f(x)在x0处可以没有定义,但当x无限接近x0时,f(x)无限接近某一个数A.而ε-δ语言最难理解的,无非就是ε,δ这两个任意正数,在证明的过程中,也经常会看到很多习题中会用2ε,ε/2等（注：吉米多维奇是一套不错的习题,对于数学分析入门很有帮助,但若已入门,个人觉得,吉米多维奇更适合理科非数学专业做数1用）.其实我个人感觉,这里的ε,δ就是无穷小,或理解为无限接近,这两个无穷小仅仅是符号标示的不同,其本质都是一样的.但无穷小不是0,最浅显的例子就是f(x)=(x^2-4)/(x-2),这里x不能等于2,但当x无限接近2的时候,f(x)无限接近4.也就是说,点(x,f(x))只能无限接近(2,4),但两点不能重合,如何说明这个无穷小呢?我就随便找一个任意小的正数δ,使得x与2的距离总是比它小,再随便找一个任意小的正数ε,使得f(x)与4的距离总比ε小.
至于2ε是不是无穷小,这个问题可以说是在牛顿和莱布尼茨创立微积分学说后,引发的第二次数学危机的一个问题,2ε是无穷小,那么3ε,4ε,……十万乘以ε还是不是无穷小呢?（见谷堆悖论）直到后来康托创立集合论,才解决了第二次的数学危机.如果楼主是读数学系,等以后学实变函数的时候,包括勒贝格的测度论,就会对这里领会得更为透彻.（ps：康托是个非常了不起的数学家,尽管罗素悖论引发了第三次的数学危机,以及后世人如ZF公理对康托集合论进行补充,但仍不掩康托的伟大.不得不说,康托到目前为止是不可超越的.)