如图1,将一个直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线BD上滑动,并使其一条直角边始终经过点A,另一条直角边与BC相交于点E. (1)求证:PA=PE; (2)若将(1)中的正方形变为矩形

如图1,将一个直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线BD上滑动,并使其一条直角边始终经过点A,另一条直角边与BC相交于点E. (1)求证:PA=PE; (2)若将(1)中的正方形变为矩形

题目
如图1,将一个直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线BD上滑动,并使其一条直角边始终经过点A,另一条直角边与BC相交于点E.

(1)求证:PA=PE;
(2)若将(1)中的正方形变为矩形,其余条件不变(如图2),且AD=10,DC=8,求AP:PE;
(3)在(2)的条件下,当P滑动到BD的延长线上时(如图3),请你直接写出AP:PE的比值.
答案

(1)证明:过P作PM⊥AB于M,PN⊥BC于N,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABD=45°,
∴∠MPB=45°=∠ABD,
∴PM=BM,
同理BP=BN,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=90°=∠BMP=∠BNP,
∴四边形BMPN是正方形,
∴PM=PN,∠MPN=90°,
∵∠APE=90°,
∴都减去∠MPE得:∠APM=∠NPE,
∵PM⊥AB,PN⊥BC,
∴∠AMP=∠PNE,
在△APM和△EPN中
∠AMP=∠ENP
PM=PN
∠APM=∠EPN

∴△APM≌△EPN(ASA),
∴AP=PE;
(2)∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=∠C=90°,
∵∠PMB=ϖPNB=90°,
∴PM∥AD,PN∥CD,
∴△BPM∽△BDA,△BNP∽△BCD,
PM
AD
=
BP
BD
PN
CD
=
BP
BD

PM
AD
=
PN
CD

PM
PN
=
AD
CD
=
10
8
=
5
4

∵∠AMP=∠ENP=90°,∠MPA=∠EPN,
∴△APM∽△EPN,
AP
PE
=
PM
PN
=
5
4

AP:PE=5:4;
(3)AP:PE=5:4.
(1)过P作PM⊥AB于M,PN⊥BC于N,四边形BMPN是正方形,得出PM=PN,∠MPN=90°,求出∠APM=∠NPE,∠AMP=∠PNE,证△APM≌△EPN,推出AP=PE即可;
(2)证△BPM∽△BDA,△BNP∽△BCD,得出
PM
AD
=
BP
BD
PN
CD
=
BP
BD
,推出
PM
AD
=
PN
CD
,求出
PM
PN
=
AD
CD
=
5
4
,证△APM∽△EPN,推出
AP
PE
=
PM
PN
即可;
(3)过P作PM⊥AB于M,PN⊥BC于N,证△BPM∽△BDA,△BNP∽△BCD,得出
PM
AD
=
BP
BD
PN
CD
=
BP
BD
,推出
PM
AD
=
PN
CD
,求出
PM
PN
=
AD
CD
=
5
4
,证△APM∽△EPN,推出
AP
PE
=
PM
PN
即可.

相似形综合题.

本题考查了正方形的性质和判定,矩形的性质,相似三角形的性质和判定,平行线的性质的应用,主要考查学生的推理能力,题目比较好,证明过程类似.

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