x,y∈(0,+∞),x+2y+xy=30,求x+y的取值范围

题目

x,y∈(0,+∞),x+2y+xy=30,求x+y的取值范围
答案是x+y∈[8√2-3,30),

答案

x+2y+xy=30,
则y=(30-x)/(x+2),
因为y>0, (30-x)/(x+2) > 0,
所以0<x<30.
设x+2=t,则x=t-2,2<t<32.
x+y= x+(30-x)/(x+2)
=t-2+(32-t)/t
=t-2+32/t-1 
= t+32/t-3……利用基本不等式
≥2√(t•32/t)-3=8√2-3.
函数t+32/t在[0,4√2]上递减,在[ 4√2,+∞）上递增,
因为2<t<32,所以t=32时,t+32/t最大,t+32/t-3<30.
∴x+y∈[8√2-3,30).