P为平面M外一点,PO垂直于平面M于O,PA,PB为平面M的斜线,若PA=8,PB=5,OA:OB=4：根号3

题目

P为平面M外一点,PO垂直于平面M于O,PA,PB为平面M的斜线,若PA=8,PB=5,OA:OB=4：根号3
求：1.求OP的长
2.若角AOB=90°,求角APB的大小

答案

1、因为OA:OB=4:根号3
所以可以设OA=4m,OB=（根号3）m,PO=x
又由题意知道△POA与△POB为直角三角形
所以有 X²+(4m)²=8².①
X²+[(根号3）m]²=5².②
联立①②有m²=3,有X²=16
则X=4或者X=-4（舍去）
所以op的长为4
2、因为∠AOB=90°
所以三角形为直角三角形
由题1有m²=3,则m=根号3
OA=4(根号3)
OB=3
所以AB²=OA²+OB²=48+9=57
由余弦定理有cos∠APB=[（AP)²+(BP)²-(AB)²]/[2(AP)*(BP)]=(64+25-57)/(2*8*5)=32/80=2/5
故而∠APB=arccos(2/5)