设S=2/(1乘3）+2^2/（3乘5)+...+2^49/（97乘99),T=1/3+2/5+...2^48/99,问 S-T等于多少?

题目

设S=2/(1乘3）+2^2/（3乘5)+...+2^49/（97乘99),T=1/3+2/5+...2^48/99,问 S-T等于多少?
一般情况下,当n>m时,概括：m*n分之1=

答案

首先有1/((n-2)n)=1/2(1/(n-2)-1/n)
则S=2(1/2(1-1/3))+2^2(1/2(1/3-1/5))+...+2^49(1/2(1/97-1/99))
=(1-1/3)+2(1/3-1/5)+...+2^48(1/97-1/99)
注意观察上式,有-1/3-2/5-...-2^48/99,
所以S+T=1+2/3+...+2^48/97,
将上式两边同时除以2有
(S+T)/2=1/2+1/3+2/5+...+2^47/97=1/2+T-2^48/99,
即(S+T)/2=T+1/2-2^48/99,
化简后有S-T=1-2^49/99
另外1/(nm)=1/(n-m)*(1/m-1/n)(n>m)