如图,△ABC内接于⊙O,AB=6,AC=4,D是AB边上一点,P是优弧BAC的中点,连接PA、PB、PC、PD. (1)当BD的长度为多少时,△PAD是以AD为底边的等腰三角形?并证明;(2)在(1
题目
如图,△ABC内接于⊙O,AB=6,AC=4,D是AB边上一点,P是优弧BAC的中点,连接PA、PB、PC、PD.
(1)当BD的长度为多少时,△PAD是以AD为底边的等腰三角形?并证明;
(2)在(1)的条件下,若cos∠PCB=
,求PA的长.
答案
(1)当BD=AC=4时,△PAD是以AD为底边的等腰三角形.
∵P是优弧BAC的中点,
∴
=
.
∴PB=PC.
又∵∠PBD=∠PCA(圆周角定理),
∴当BD=AC=4,△PBD≌△PCA.
∴PA=PD,即△PAD是以AD为底边的等腰三角形.
(2)过点P作PE⊥AD于E,
由(1)可知,
当BD=4时,PD=PA,AD=AB-BD=6-4=2,
则AE=
AD=1.
∵∠PCB=∠PAD(在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等),
∴cos∠PAD=cos∠PCB=
=,
∴PA=
.
(1)根据等弧对等弦以及全等三角形的判定和性质进行求解;
(2)过点P作PE⊥AD于E.根据锐角三角函数的知识和垂径定理进行求解.
圆心角、弧、弦的关系;全等三角形的判定;等腰三角形的判定;垂径定理.
综合运用了等弧对等弦的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数的知识以及垂径定理.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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