如图,平面直角坐标系中,点A、B分别在x、y轴上,点B的坐标为(0,1),∠BAO=30°. (1)求AB的长度; (2)以AB为一边作等边△ABE,作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D.求证
题目
如图,平面直角坐标系中,点A、B分别在x、y轴上,点B的坐标为(0,1),∠BAO=30°.
(1)求AB的长度;
(2)以AB为一边作等边△ABE,作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D.求证:BD=OE;
(3)在(2)的条件下,连接DE交AB于F.求证:F为DE的中点.
答案
(1)∵在Rt△ABO中,∠BAO=30°,
∴AB=2BO=2;
(2)证明:连接OD,
∵△ABE为等边三角形,
∴AB=AE,∠EAB=60°,
∵∠BAO=30°,作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D,
∴∠DAO=60°.
∴∠EAO=∠NAB
又∵DO=DA,
∴△ADO为等边三角形.
∴DA=AO.
在△ABD与△AEO中,
∵
,
∴△ABD≌△AEO(SAS).
∴BD=OE.
(3)证明:作EH⊥AB于H.
∵AE=BE,∴AH=
AB,
∵BO=
AB,∴AH=BO,
在Rt△AEH与Rt△BAO中,
,
∴Rt△AEH≌Rt△BAO(HL),
∴EH=AO=AD.
又∵∠EHF=∠DAF=90°,
在△HFE与△AFD中,
,
∴△HFE≌△AFD(AAS),
∴EF=DF.
∴F为DE的中点.
(1)直接运用直角三角形30°角的性质即可.
(2)连接OD,易证△ADO为等边三角形,再证△ABD≌△AEO即可.
(3)作EH⊥AB于H,先证△ABO≌△AEH,得AO=EH,再证△AFD≌△EFH即可.
全等三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质;等边三角形的性质;含30度角的直角三角形.
本题主要考查全等三角形与等边三角形的巧妙结合,来证明角相等和线段相等.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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