已知两点P(-2,2),Q(0,2)以及一条直线:L:y=x,设长为2的线段AB在直线L上移动,如图,求直线PA和QB的交点M的轨迹方程.(要求把结果写成普通方程)
题目
已知两点P(-2,2),Q(0,2)以及一条直线:L:y=x,设长为
的线段AB在直线L上移动,如图,求直线PA和QB的交点M的轨迹方程.(要求把结果写成普通方程)
答案
由于线段AB在直线y=x上移动,且AB的长
,
所以可设点A和B分别是(a,a)和(a+1,a+1),其中a为参数
于是可得:直线PA的方程是
y-2=(x+2)(a≠-2)(1)直线QB的方程是
y-2=x(a≠-1)(2)(1)当
=,即a=0时,
直线PA和QB平行,无交点
(2)当a≠0时,直线PA与QB相交,
设交点为M(x,y),由(2)式得
y-2=(1-)x,a+1=,
∴
a+2=,a-2=.将上述两式代入(1)式,得
y-2=(x+2)整理得x
2-y
2+2x-2y+8=0,
即
-=-1(*)当a=-2或a=-1时,直线PA和QB仍然相交,并且交点坐标也满足(*)式
所以(*)式即为所求动点的轨迹方程.
根据题意,设点A和B分别是(a,a)和(a+1,a+1),直线PA的方程是
y-2=(x+2)(a≠-2)(1),直线QB的方程是
y-2=x(a≠-1)(2).当
=,即a=0时,直线PA和QB平行,无交点;当a≠0时,直线PA与QB相交,
设交点为M(x,y),
y-2=(1-)x,a+1=,∴a+2=,a-2=.由此能得到直线PA和QB的交点M的轨迹方程.
轨迹方程.
本题考查轨迹方程的求法,解题时要认真审题,仔细分析,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地选取公式.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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