在1，0交替出现，且以1打头和结尾的所有整数（如101，10101，1010101…）中有多少个质数，为什么？并求出所有质数．

题型：解答题难度：一般来源：不详

在1，0交替出现，且以1打头和结尾的所有整数（如101，10101，1010101…）中有多少个质数，为什么？并求出所有质数．

答案

只有101这个质数，
设n≥2，有
A=1010…1…（2n+1位）=10²ⁿ+10^2n-2+••+10²+1=

102n+2-1

102-1

=

(10n+1+1)(10n+1-1)

99

若n为奇数，即n=2m+1时，有

10n+1-1

99

=

102m+2-1

99

=1010…1…（2m+1位），
∴A=1010…1…（2m+1位）×10ⁿ⁺¹+1，即A为合数；
若n为偶数，则A=

10n+1-1

9

×

10n+1+1

11

，
即A亦为合数．