（1）若a、b、c、d是互不相等的整数，且整数x满足等式（x-a）（x-b）（x-c）（x-d）-9=0，求证：4|（a+b+c+d）．（2）已知两个三位数.a

题型：解答题难度：一般来源：不详

（1）若a、b、c、d是互不相等的整数，且整数x满足等式（x-a）（x-b）（x-c）（x-d）-9=0，求证：4|（a+b+c+d）．
（2）已知两个三位数

.

abc

与

.

def

的和

.

abc

+

.

def

能被37整除，证明：六位数

.

abcdef

也能被37整除．

答案

证明：（1）∵9=1×（-1）×3×（-3），
∴可设x-a=1，x-b=-1，x-c=3，x-d=-3，
∴a=x-1，b=x+1，c=x-3，d=x+3，
∴a+b+c+d=4x，
即4|（a+b+c+d）；

（2）∵

.

abcdef

=

.

abc

×1000+

.

def

=

.

abc

×999+（

.

abc

+

.

def

）
又∵

.

abc

和（

.

abc

+

.

def

）能被37整除，
∴

.

abc

×999+（

.

abc

+

.

def

）能被37整除，即六位数

.

abcdef

能被37整除．