给定整数n≥3,实数a1,a2,…,an满足min1≤i<j≤n|ai-aj|=1.求nk=1|ak|3的最小值.
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给定整数n≥3,实数a1,a2,…,an满足min1≤i<j≤n|ai-aj|=1.求nk=1|ak|3的最小值.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
给定整数n≥3,实数a
1
,a
2
,…,a
n
满足min
1≤i<j≤n
|a
i
-a
j
|=1.求
n
k=1
|
a
k
|
3
的最小值.
答案
不妨设a
1
<a
2
<…<a
n
,则对1≤k≤n,有|a
k
|+|a
n-k+1
|≥|a
n-k+1
-a
k
|≥|n+1-2k|,
所以
n
k=1
|
a
k
|
3
=
1
2
n
k=1
(
|
a
k
|
3
+
|
a
n+1-k
|
3
)
=
1
2
n
k=1
(|
a
k
|+|
a
n+1-k
|)(
3
4
(|
a
k
|-|
a
n+1-k
|)
2
+
1
4
(|
a
k
|+|
a
n+1-k
|)
2
)
≥
1
8
n
k=1
(|
a
k
|+|
a
n+1-k
|)
3
≥
1
8
n
k=1
|n+1-2k|
3
.
当n为奇数时,
n
k=1
|n+1-2k|
3
=2•
2
3
•
n-1
2
i=1
i
3
=
1
4
(
n
2
-1
)
2
.
当n为偶数时,
n
k=1
|n+1-2k|
3
=2
n
2
i=1
(2i-1
)
3
=
2(
n
j=1
j
3
-
n
2
i=1
(2i)
3
)
=
1
4
n
2
(
n
2
-2)
.
所以,当n为奇数时,
n
k=1
|
a
k
|
3
≥
1
32
(
n
2
-1
)
2
,当n为偶数时,
n
k=1
|
a
k
|
3
≥
1
32
n
2
(
n
2
-2)
,等号均在
a
i
=i-
n+1
2
,i=1,2,n
时成立.
因此,
n
k=1
|
a
k
|
3
的最小值为
1
32
(
n
2
-1
)
2
(n为奇数),或者
1
32
n
2
(
n
2
-2)
(n为偶数).
举一反三
若M=(x-3)(x-5),N=(x-2)(x-6),则M与N的关系为( )
A.M=N
B.M>N
C.M<N
D.M与N的大小由x的取值而定
题型:单选题
难度:一般
|
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计算:
(1)(6a
4
b-5a
3
c
2
-3a
2
)÷(-3a
2
)
(2)9(x+2)(x-2)-(3x-2)
2
(3)利用乘法公式计算:2005
2
-2004×2006
(4)
|-3|+(-1
)
2011
×(π-3.14
)
0
-(-
1
3
)
-2
+
2
-3
.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
(1)计算:
36
×
1
3
+|
3
-2|+(-
1
2
)
0
(2)先化简,再求值:(a
2
b-2ab
2
-b
3
)÷b-(a+b)(a-b),其中
a=
1
2
,b=-1
题型:解答题
难度:一般
|
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已知
m+
1
m
=1
,求m(m+3)+(1+2m)(1-2m)的值.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
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a
2
)厘米的正方形,利用因式分解计算当a=19.9,b=4.95时,剩余部分的面积.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
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