设x1，x2，…xn是整数，并满足：（1）-1≤xi≤2，i=1，2，…n；（2）x1+x2+…+xn=19；（3）x12+x22+…+xn2=99．求x13+

题型：解答题难度：一般来源：不详

设x₁，x₂，…x_n是整数，并满足：
（1）-1≤x_i≤2，i=1，2，…n；
（2）x₁+x₂+…+x_n=19；
（3）x₁²+x₂²+…+x_n²=99．
求x₁³+x₂³+…+x_n³的最大值和最小值．

答案

设x₁，x₂，…x_n中有r个-1，s个1，t个2，
则

-r+s+2t=19 r+s+4t=99

，
得3t+s=59，0≤t≤19，
∴x₁³+x₂³+…+x_n³=-r+s+8t=6t+19，
∴19≤x₁³+x₂³+…+x_n³≤6×19+19=133，
在t=0，s=59，r=40时，x₁³+x₂³+…+x_n³，取得最小值19，
在t=19，s=2，r=21时，x₁³+x₂³+…+x_n³=99取得最大值133．