已知an-bm≠0,a≠0,ax2+bx+c=0,mx2+nx+p=0,求证:(cm-ap)2=(bp-cn)(an-bm).

已知an-bm≠0,a≠0,ax2+bx+c=0,mx2+nx+p=0,求证:(cm-ap)2=(bp-cn)(an-bm).

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知an-bm≠0,a≠0,ax2+bx+c=0,mx2+nx+p=0,求证:(cm-ap)2=(bp-cn)(an-bm).
答案
证明:∵an-bm≠0
∴方程ax2+bx+c=0和方程mx2+nx+p=0有相等的根.
方程ax2+bx+c=0可化为x2+
b
a
x+
c
a
=0   ①
方程mx2+nx+p=0可化为x2+
n
m
x+
p
m
=0   ②
把方程①-②可得:(
b
a
-
n
m
)x+(
c
a
-
p
m
)=0
解方程得:
bm-an
am
x+
cm-ap
am
=0
(bm-an)x+(cm-ap)=0
x=
ap-cm
bm-an

把x=
ap-cm
bm-an
代入方程ax2+bx+c=0
得:a(
ap-cm
bm-an
)
2
+b(
ap-cm
bm-an
)+c=0
a(ap-cm)2+b(ap-cm)(bm-an)+c(bm-an)2=0
a(ap-cm)2+(bm-an)(abp-bcm+bcm-can)=0
a(ap-cm)2+a(bm-an)(bp-cn)=0
∵a≠0,
∴两边同时除以a得到:(ap-cm)2+(bm-an)(bp-cn)=0
故(ap-cm)2=(bp-cn)(an-bm).
举一反三
设x1,x2,…xn是整数,并满足:
(1)-1≤xi≤2,i=1,2,…n;
(2)x1+x2+…+xn=19;
(3)x12+x22+…+xn2=99.
求x13+x23+…+xn3的最大值和最小值.
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题型:填空题难度:简单| 查看答案
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题型:解答题难度:一般| 查看答案
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