(1)求证:817-279-913能被45整除;(2)证明:当n为自然数时,2(2n+1)形式的数不能表示为两个整数的平方差;(3)计算:(24+14)(44+

(1)求证:817-279-913能被45整除;(2)证明:当n为自然数时,2(2n+1)形式的数不能表示为两个整数的平方差;(3)计算:(24+14)(44+

题型:解答题难度:一般来源:不详
(1)求证:817-279-913能被45整除;
(2)证明:当n为自然数时,2(2n+1)形式的数不能表示为两个整数的平方差;
(3)计算:
(24+
1
4
)(44+
1
4
)(64+
1
4
)(84+
1
4
)(104+
1
4
)
(14+
1
4
)(34+
1
4
)(54+
1
4
)(74+
1
4
)(94+
1
4
)
答案
(1)∵817-279-913=328-327-326=326(9-3-1)=45×324
∴817-279-913能被45整除;

(2)反证法:假设2(2n+1)能表示为两个整数的平方差即2(2n+1)=a2-b2=(a+b)(a-b),
因为2(2n+1)是偶数,则a+b、a-b定有一个是偶数,
若a+b是偶数,则a、b具有相同的奇偶性,则a-b也是偶数;
同样的,若a-b偶,则a+b也偶,
则(a+b)(a-b)能被4整除也就是说2(2n+1)能被4整除,
即 2n+1能被2整除,但这是显然不成立的,
故原假设不成立,
∴当n为自然数时,2(2n+1)的形式的数不能表示为两个整数的平方差;

(3)∵x4+
1
4
=(x4+x2+
1
4
) -x2
=(x2+
1
2
2
-x2
=(x2-x+
1
2
)(x2+x+
1
2
)

∴原式=
(4-2+
1
2
)(4+2+
1
2
)(42-4+
1
2
)(42+4+
1
2
)(62-6+
1
2
)(62+6+
1
2
)(82-8+
1
2
)(82+8+
1
2
)(102-10+
1
2
)(102+10+
1
2
)
1
2
×
5
2
(32-3+
1
2
)(32+3+
1
2
) (52-5+
1
2
)(52+5+
1
2
)(72-7+
1
2
)(72+7+
1
2
)(92-9+
1
2
)(92+9+
1
2
)
=2×(102+10+
1
2

=221.
举一反三
已知b、c是整数,二次三项式x2+bx+c既是x4+6x2+25的一个因式,也是3x4+4x2+28x+5的一个因式,求x=1时,x2+bx+c的值.
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按下面规则扩充新数:已有两数a、b,可按规则c=ab+a+b扩充一个新数,在a、b、c三个数中任取两数,按规则又可扩充一个新数,…每扩充一个新数叫做一次操作.现有数1和4.
(1)求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数;
(2)能否通过上述规则扩充得到新数1999,并说明理由.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
若x2+2x+5是x4+px2+q的一个因式,那么p+q的值等于(  )
A.3B.30C.31D.39
题型:单选题难度:简单| 查看答案
设x>0,试比较代数式x3和x2+x+2的值的大小.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
分解因式:x4+2x3-9x2-2x+8=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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