已知下面一列等式：1×12=1-12；12×13=12-13；13×14=13-14；14×15=14-15；…．（1）请你按这些等式左边的结构特征写出它的一般

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知下面一列等式：
1×

1

2

=1-

1

2

；

1

2

×

1

3

=

1

2

-

1

3

；

1

3

×

1

4

=

1

3

-

1

4

；

1

4

×

1

5

=

1

4

-

1

5

；…．
（1）请你按这些等式左边的结构特征写出它的一般性等式：
（2）验证一下你写出的等式是否成立；
（3）利用等式计算：

1

x(x+1)

+

1

(x+1)(x+2)

+

1

(x+2)(x+3)

+

1

(x+3)(x+4)

．

答案

（1）由1×

1

2

=1-

1

2

；

1

2

×

1

3

=

1

2

-

1

3

；

1

3

×

1

4

=

1

3

-

1

4

；

1

4

×

1

5

=

1

4

-

1

5

；…．可知它的一般性等式为

1

n+1

=

1

n

-

1

n+1

；

（2）∵

1

n

-

1

n+1

=

n+1

n(n+1)

-

n

n(n+1)

=

1

n(n+1)

=

1

n

•

1

n+1

，
∴原式成立；

（3）

1

x(x+1)

+

1

(x+1)(x+2)

+

1

(x+2)(x+3)

+

1

(x+3)(x+4)

=

1

x

-

1

x+1

+

1

x+1

-

1

x+2

+

1

x+2

-

1

x+3

+

1

x+3

-

1

x+4

=

1

x

-

1

x+4

=

4

x2+4x

．