观察下列各式：62-42=4×5，112-92=4×10，172-152=4×16，…，（1）你发现了什么规律？试用你发现的规律填空：512-492=4×___

题型：解答题难度：一般来源：不详

观察下列各式：6²-4²=4×5，11²-9²=4×10，17²-15²=4×16，…，
（1）你发现了什么规律？试用你发现的规律填空：51²-49²=4×______；75²-73²=4×．
（2）请你用含一个字母的等式将上面各式呈现的规律表示出来，并用所学数学知识说明你所写式子的正确性．
写出等式：______证明：
（3）计算乘积(1-

1

22

)(1-

1

32

)(1-

1

42

)…(1-

1

20112

)(1-

1

20122

)等于______．（直接写出结果）

答案

（1）发现的规律为：相差为2的平方差等于这两数之间数的4倍，
则51²-49²=4×50；75²-73²=4×74；
（2）得到的规律为：（n+2）²-n²=4（n+1），
证明：等式左边=n²+4n+4-n²=4n+4，右边=4n+4，
则左边=右边，故原等式成立；
（3）原式=（1+

1

2

）（1-

1

2

）（1+

1

3

）（1-

1

3

）…（1+

1

2012

）（1-

1

2012

）
=（

3

2

×

4

3

×…

2013

2012

）×（

1

2

×

2

3

×…×

2011

2012

）=

2013

2

×

1

2012

=

2013

4024

．
故答案为：（1）50；74；（2）（n+2）²-n²=4（n+1）；（3）

2013

4024