设p=a-ba+b,q=b-cb+c,r=c-ac+a,其中a+b,b+c,c+a全不为零.证明:(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)

设p=a-ba+b,q=b-cb+c,r=c-ac+a,其中a+b,b+c,c+a全不为零.证明:(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)

题型:解答题难度:一般来源:不详
p=
a-b
a+b
q=
b-c
b+c
r=
c-a
c+a
,其中a+b,b+c,c+a全不为零.证明:(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r).
答案
证明:1+p=1+
a-b
a+b
=
2a
a+b

1-p=1-
a-b
a+b
=
2b
a+b

同理1+q=
2b
c+b
,1-q=
2c
c+b

1+r=
2c
c+a
,1-r=
2a
c+a

=
(1+q)(1+p)(1+r)
(1-p)1-q)(1-r)
=
2a
a+b
+
2b
c+b
+
2c
c+a
2b
a+b
+
2c
c+b
+
2a
c+a
=1,
∴(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r).
举一反三
求证:
a2-bc
(a+b)(a+c)
+
b2-ca
(b+c)(b+a)
=
ab-c2
(c+a)(c+b)
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1
a
+
1
b
=
1
c
,则a2+b2+c2=(a+b-c)2
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已知x,y,z满足
2
x
=
3
y-z
=
5
z+x
,求
5x-y
y+2z
的值.
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已知
a+b
a-b
=
b+c
2(b-c)
=
c+a
3(c-a)
,a,b,c互不相等.求证:8a+9b+5c=0.
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已知y=a-
a2
x
,z=a-
a2
y
,求证:x=a-
a2
z
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