如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的斜边AB在x轴上,点C在y轴上,∠ACB=90°,OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣25x+144=0的两个根(OA

如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的斜边AB在x轴上,点C在y轴上,∠ACB=90°,OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣25x+144=0的两个根(OA

题型:不详难度:来源:
如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的斜边AB在x轴上,点C在y轴上,∠ACB=90°,OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣25x+144=0的两个根(OA<OB),点D是线段BC上的一个动点(不与点B、C重合),过点D作直线DE⊥OB,垂足为E.

(1)求点C的坐标.
(2)连接AD,当AD平分∠CAB时,求直线AD的解析式.
(3)若点N在直线DE上,在坐标系平面内,是否存在这样的点M,使得C、B、N、M为顶点的四边形是正方形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,说明理由.
答案
(1)C(0,12)。
(2)
(3)存在点M,使得C、B、N、M为顶点的四边形是正方形,
点M的坐标是(28,16)或(14,14)或(﹣12,﹣4)或(2,﹣2)。
解析

试题分析:(1)解一元二次方程,求得OA、OB的长,证△AOC∽△COB,推出OC2=OA•OB,即可得出答案。
解x2﹣25x+144=0得x=9或x=16,
∵OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣25x+144=0的两个根(OA<OB),
∴OA=9,OB=16。
在Rt△AOC中,∠CAB+∠ACO=90°,
在Rt△ABC中,∠CAB+∠CBA=90°,
∴∠ACO=∠CBA。
∵∠AOC=∠COB=90°,∴△AOC∽△COB。∴OC2=OA•OB。∴OC=12,
∴C(0,12)。
(2)应用相似三角形求得点D 的坐标,应用待定系数法即可求得直线AD的解析式。
在Rt△AOC和Rt△BOC中,∵OA=9,OC=12,OB=16,∴AC=15,BC=20。
∵DE⊥AB,∴∠ACD=∠AED=90°。
又∵AD平分∠CAB,AD=AD,∴△ACD≌△AED。∴AE=AC=15。
∴OE=AE﹣OA=15﹣9=6,BE=10。
∵∠DBE=∠ABC,∠DEB=∠ACB=90°,∴△BDE∽△BAC。
,即,解得
∴D(6,)。
设直线AD的解析式是y=kx+b,
将A(﹣9,0)和D(6,)代入得:
,解得
∴直线AD的解析式是:
(3)存在点M,使得C、B、N、M为顶点的四边形是正方形。
① 以BC为对角线时,作BC的垂直平分线交BC于Q,交x轴于F,在直线FQ上取一点M,使∠CMB=90°,则符合此条件的点有两个,

BQ=CQ=BC=10,
∵∠BQF=∠BOC=90°,∠QBF=∠CBO,
∴△BQF∽△BOC。∴
∵BQ=10,OB=16,BC=20,∴BF=
∴OF=16﹣=。∴F(,0)。
∵OC=12,OB=16,Q为BC中点,∴Q(8,6)。
设直线QF的解析式是y=ax+c,
代入得:,解得
∴直线FQ的解析式是:
设M的坐标是(x,),
根据CM=BM和勾股定理得:(x﹣0)2+(﹣12)2=(x﹣16)2+(﹣0)2
解得x1=14,x2=2。
∴M的坐标是(14,14),(2,﹣2)。
②以BC为一边时,过B作BM3⊥BC,且BM3=BC=20,过M3Q⊥OB于Q,还有一点M4,CM4=BC=20,CM4⊥BC,

则∠COB=∠M3B=∠CBM3=90°。
∴∠BCO+∠CBO=90°,
∠CBO+∠M3BQ=90°。
∴∠BCO=∠M3BQ。
∵在△BCO和△M3BQ中,

∴△BCO≌△M3BQ(AAS)。
∴BQ=CO=12,QM3=OB=16,
OQ=16+12=28,
∴M3的坐标是(28,16)。
同法可求出CT=OB=16,M4T=OC=12,OT=16﹣12=4,
∴M4的坐标是(﹣12,﹣4)。
综上所述,存在点M,使得C、B、N、M为顶点的四边形是正方形,
点M的坐标是(28,16)或(14,14)或(﹣12,﹣4)或(2,﹣2)。
举一反三
已知关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根﹣2,m.求m,n的值.
题型:不详难度:| 查看答案
关于x的一元二次方程3x2﹣6x+m=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是
A.m<3B.m≤3C.m>3D.m≥3

题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣1=0有两根为x1和x2,且x12﹣x1x2=0,则a的值是
A.a=1B.a=1或a=﹣2C.a=2D.a=1或a=2

题型:单选题难度:简单| 查看答案
关于x的一元二次方程x2﹣2x+2+m2=0的根的情况是
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.没有实数根D.无法确定

题型:不详难度:| 查看答案
已知x=3是方程x2﹣6x+k=0的一个根,则k=   
题型:填空题难度:简单| 查看答案
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