(附加题)(1)对于任意给定的一个矩形C,是否存在另一个矩形,使它的周长和面积都是矩形C的2倍?请说明你的理由;(2)当实数m为什么值,对于任何一个矩形C,都存
题型:温州难度:来源:
(附加题)(1)对于任意给定的一个矩形C,是否存在另一个矩形,使它的周长和面积都是矩形C的2倍?请说明你的理由; (2)当实数m为什么值,对于任何一个矩形C,都存在另一个矩形,它的周长与面积都是矩形C的m倍?证明你的结论. |
答案
(1)设已知矩形的长与宽分别为a,b,所求矩形为x,y. 则 ∴x,y是方程t2-2(a+b)t+2ab=0的两实根. ∵△=4(a+b)2-8ab=4(a2+b2)>0,∴方程有解. 所以,对于长与宽分别为a,b矩形,存在周长与面积都是已知矩形的2倍的矩形;
(2)设已知矩形的长与宽分别为a,b,所求矩形为x,y. 则 ∴x,y是方程t2-m(a+b)t+mab=0的两实根. 当△=[m(a+b)]2-4mab≥0,即m≥时,方程有解. 所以,对于长与宽分别为a,b的矩形,当m≥时,存在周长与面积都是已知矩形的m倍的矩形. ∵(a-b)2≥0, ∴a2+b2≥2ab,a2+b2+2ab≥4ab, 即(a+b)2≥4ab,≤1, ∴的最大值为1. ∴当m≥1时,所有的矩形都有周长与面积同时扩大m倍的矩形. |
举一反三
请写出一个一根为1,另有一个负根的一元二次方程______. |
以5-2和5+2为根的一元二次方程是( )A.x2-10x+1=0 | B.x2+10x-1=0 | C.x2+10x+1=0 | D.x2-10x-1=0 |
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关于x的方程x2+(3-k)x+k2-3=0的两实数根互为倒数,则k=______. |
关于x的方程x2+(2k+1)x+k2-1=0有两个实数根. (1)求实数k的取值范围; (2)是否存在实数k,使方程的两个实数根的平方和与两个实数根的积相等?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由. |
一元二次方程x2-5x+1=0的两根为x1、x2,则数组(x1+x2,x12+x22)是( )A.(-5,23) | B.(5,23) | C.(-5,21) | D.(5,21) |
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