已知关于x的一元二次方程x2-（2k-1）x+4k-6=0．（1）试说明：无论k为何值时方程总有两个实数根；（2）当方程两根的倒数和等于-1时，求k的值；（3）

题型：不详难度：来源：

已知关于x的一元二次方程x²-（2k-1）x+4k-6=0．
（1）试说明：无论k为何值时方程总有两个实数根；
（2）当方程两根的倒数和等于-1时，求k的值；
（3）若抛物线y=x²-（2k-1）x+4k-6与x轴两交点的横坐标分别为x₁，x₂，且x₁＞0＞x₂，x₁-x₂＜6，求k的取值范围．

答案

（1）△=（2k-1）²-4（4k-6）=（2k-5）²
∵（2k-5）²≥0，
∴△≥0，
∴无论k为何值，方程总有两个实数根；

（2）设方程的两根为x₁，x₂，由根与系数的关系及题意得：

x1+x2=2k-1 x1x2=4k-6 1 x1 + 1 x2 =-1

∴

2k-1

4k-6

=-1，
∴k=

7

6

；

（3）∵方程的两根为x=2或x=2k-3且x₁＞0＞x₂，
∴x₁=2，x₂=2k-3
由题意得：

2k-3＜0 2-2k+3＜6

解不等式组得-

1

2

＜k＜

3

2

所以，k的取值范围是-

1

2

＜k＜

3

2

．