设AC=x千米,BC=y千米,AD=n千米,BD=m千米,铁路每千米的运费为a元,则公路每千米的运费为2a元, 则从A到B得运费s=a(n-)+2ay①,即an-s+2ay=a②, 两边平方整理得:3a2y2+4a(an-s)y+(an-s)2+a2m2=0, 可看作关于y的一元二次方程,△=[4a(an-s)]2-4×3a2[(an-s)2+a2m2]≥0, 即(an-s)2≥3a2m2,s-an≥am, 从而可得s≥an+am,故最小值为an+am. 将s的值代入②可得an-(an+am)+2ay=a, 移项后可得:(ay-2am)2=0,故ay=2am, 解得:y=, 从而可得x=n-=n-m. 答:修一条公路,使得铁路与公路的交接点C距离A的距离为n-m,此时的运费最低,为an+am.
|