如图,在平面直角坐标系中,直线AB分别与x轴,y轴相交于A,B两点,OA,OB的长分别是方程x2﹣14x+48=0的两根,且OA<OB.(1)求点A,B的坐标.

如图,在平面直角坐标系中,直线AB分别与x轴,y轴相交于A,B两点,OA,OB的长分别是方程x2﹣14x+48=0的两根,且OA<OB.(1)求点A,B的坐标.

题型:不详难度:来源:
如图,在平面直角坐标系中,直线AB分别与x轴,y轴相交于A,B两点,OA,OB的长分别是方程x2﹣14x+48=0的两根,且OA<OB.

(1)求点A,B的坐标.
(2)过点A作直线AC交y轴于点C,∠1是直线AC与x轴相交所成的锐角,sin∠1=,点D在线段CA的延长线上,且AD=AB,若反比例函数的图象经过点D,求k的值.
(3)在(2)的条件下,点M在射线AD上,平面内是否存在点N,使以A,B,M,N为顶点的四边形是邻边之比为1:2的矩形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1)A(6,0),B(0,8)。
(2)k=84。
(3)存在。点N的坐标为(4,11)或(16,20)。
解析

试题分析:(1)解一元二次方程,求得OA、OB的长度,得到点A、B的坐标。
解:解方程x2﹣14x+48=0,得:x1=6,x2=8。
∵OA,OB的长分别是方程x2﹣14x+48=0的两根,且OA<OB,∴OA=6,OB=8。
∴A(6,0),B(0,8)。
(2)如答图所示,作辅助线,构造全等三角形△AOB≌△DEA,求得点D的坐标;进而由题意,求出k的值。
如答图所示,过点D作DE⊥x轴于点E.

在Rt△AOB中,OA=6,OB=8,
由勾股定理得:AB=10。

∵sin∠1=,∴∠OBA=∠1。
∵∠OBA+∠OAB=90°,∠1+∠ADE=90°,
∴∠OAB=∠ADE。
在△AOB与△DEA中,∵∠OBA=∠1,AB=AD,∠OAB=∠ADE,
∴△AOB≌△DEA(ASA)。∴AE=OB=8,DE=OA=6。∴OE=OA+AE=6+8=14。
∴D(14,6)。
∵反比例函数的图象经过点D,∴k=14×6=84。
(3)如答图所示,可能存在两种情形:
如图所示,若以A,B,M,N为顶点的四边形是邻边之比为1:2的矩形,

①当AB:AM1=2:1时,
过点M1作M1E⊥x轴于点E,
易证Rt△AEM1∽Rt△BOA,
,即
∴AE=4,M1E=3。
过点N1作N1F⊥y轴于点F,易证Rt△N1FB≌Rt△AEM1
∴N1F=AE=4,BF=M1E=3,∴OF=OB+BF=8+3=11。
∴N1(4,11)。
②当AB:AM2=1:2时,同理可求得:N2(16,20)。
综上所述,存在满足条件的点N,点N的坐标为(4,11)或(16,20)。
举一反三
甲乙两车从A市去往B市,甲比乙早出发了2个小时,甲到达B市后停留一段时间返回,乙到达B市后立即返回.甲车往返的速度都为40千米/时,乙车往返的速度都为20千米/时,下图是两车距A市的路程S(千米)与行驶时间t(小时)之间的函数图象.请结合图象回答下列问题:

(1)A、B两市的距离是   千米,甲到B市后,   小时乙到达B市;
(2)求甲车返回时的路程S(千米)与时间t(小时)之间的函数关系式,并写出自变量t的取值范围;
(3)请直接写出甲车从B市往回返后再经过几小时两车相距15千米.
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某农场的一个家电商场为了响应国家家电下乡的号召,准备用不超过105700元购进40台电脑,其中A型电脑每台进价2500元,B型电脑每台进价2800元,A型每台售价3000元,B型每台售价3200元,预计销售额不低于123200元.设A型电脑购进x台、商场的总利润为y(元).
(1)请你设计出进货方案;
(2)求出总利润y(元)与购进A型电脑x(台)的函数关系式,并利用关系式说明哪种方案的利润最大,最大利润是多少元?
(3)商场准备拿出(2)中的最大利润的一部分再次购进A型和B型电脑至少各两台,另一部分为地震灾区购买单价为500元的帐篷若干顶.在钱用尽三样都购买的前提下请直接写出购买A型电脑、B型电脑和帐篷的方案.
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如图,平面直角坐标系中,矩形OABC的对角线AC=12,tan∠ACO=

(1)求B、C两点的坐标;
(2)把矩形沿直线DE对折使点C落在点A处,DE与AC相交于点F,求直线DE的解析式;
(3)若点M在直线DE上,平面内是否存在点N,使以O、F、M、N为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
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如图,爸爸从家(点O)出发,沿着扇形AOB上OA→→BO的路径去匀速散步,设爸爸距家(点O)的距离为S,散步的时间为t,则下列图形中能大致刻画S与t之间函数关系的图象是
A.B.C.D.

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2012年秋季,某省部分地区遭受严重的雨雪自然灾害,兴化农场34800亩的农作物面临着收割困难的局面.兴华农场积极想办法,决定采取机械收割和人工收割两种方式同时进行抢收,工作了4天,由于雨雪过大,机械收割被迫停止,此时,人工收割的工作效率也减少到原来的,第8天时,雨雪停止附近的胜利农场前来支援,合作6天,完成了兴化农场所有的收割任务.图1是机械收割的亩数y1(亩)和人工收割的亩数y2(亩)与时间x(天)之间的函数图象.图2是剩余的农作物的亩数w(亩)与时间x天之间的函数图象,请结合图象回答下列问题.

(1)请直接写出:A点的纵坐标   
(2)求直线BC的解析式.
(3)第几天时,机械收割的总量是人工收割总量的10倍?
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