关于x的方程x2－2（k－1）x＋k2 = 0的两实根x1、x2满足x1x2－1.点A为直线y =" x" 上一点，过A作AC⊥x轴交x轴于C，交双曲线于B，求

题型：不详难度：来源：

关于x的方程x²－2（k－1）x＋k² = 0的两实根x₁、x₂满足x₁x₂－1.点A为直线y =" x" 上一点，过A作AC⊥x轴交x轴于C，交双曲线于B，求OB²－AB²的值。

答案

k = －3， OB²－ AB² ="-" 6 .

解析

试题分析： ∵方程x²－2（k－1）x＋k² = 0的两实根x₁、x₂   ，
∴x₁+x₂ =2（k－1 ）,     x₁x₂= k² 
∴x₁x₂－1
∴ == k² -1
∴ k="1" 或 k=-3
又 =b² – 4 a c =4（k－1）² - 4 k² 0 即 k 2
∴ k=-3
∴关于x的方程 x²+8x+9=0
∴交双曲线y= 
根据题意画出图象：

∵点A为直线y=x上一点，∴AC=CO，
∵OB²=OC²+BC²，AB²=（AC+BC） ²=OC²+BC²+2 OC•BC，
∴OB²-AB²=OC²+BC²-（OC²+BC²+2OC•BC）=-2 =-2k=-6．
点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数关系的应用以及一次函数与反比例函数的综合应用，关键是列出关于k的方程以及利用勾股定理得出OB²-AB²=-2OC•BC．