(1)∵A、C的坐标分别是(a,0),(0,), ∴OA=,OA=a, 则矩形OABC的面积是a; (2)①直线l将矩形OABC分成周长相等的两部分, ∴CD+OE=DB+EA, D(,),E(,0), ∴=6-,b=2; ②D(1,)、E(2,0), 连接BE,
tan∠BEA=tan∠DEO=, DEO=60° ∴∠BEA=∠BED, ∵⊙P与AB、AE、ED都相切, ∴圆心P必在BE上, 过P作PF⊥OA,垂足为F, ∴△EPF∽△EBA, ∴=, 设⊙P的半径为r, =, ∴r=; (3)由题意知,DM∥NE,DN∥ME, ∴四边形DNEM为平行四边形, 根据轴对称知,∠MED=∠NED, 又∠MDE=∠NED, ∴∠MED=∠MDE, ∴MD=ME, ∴平行四边形DNEM为菱形. 当N与O重合时,CD=1, 当M与B重合时,CD=3, ∴当1≤k≤3时重叠部分的面积为定值. 过点D作DH⊥OA,垂足为H, 由题意知,tan∠DEN=,DH=, ∴HE=1, 设菱形DNEM的边长为a, 则在Rt△DHN中,由勾股定理知, a2=(a-1)2+()2 a=2, ∴S四边形DNEM=NE•DH=2; ∴该定值为2.
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