如图，已知一次函数y=2x+2的图象与y轴交于点B，与反比例函数y=k1x的图象的一个交点为A（1，m）．过点B作AB的垂线BD，与反比例函数y=k2x（x＞0

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如图，已知一次函数y=2x+2的图象与y轴交于点B，与反比例函数y=

的图象的一个交点为A（1，m）．过点B作AB的垂线BD，与反比例函数y=

（x＞0）的图象交于点D（n，-2）．
（1）求k₁和k₂的值；
（2）若直线AB、BD分别交x轴于点C、E，试问在y轴上是否存在一个点F，使得△BDF∽△ACE？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

（1）将A（1，m）代入一次函数y=2x+2中，得：m=2+2=4，即A（1，4），
将A（1，4）代入反比例解析式y=

得：k₁=4；
过A作AM⊥y轴，过D作DN⊥y轴，
∴∠AMB=∠DNB=90°，
∴∠BAM+∠ABM=90°，
∵AC⊥BD，即∠ABD=90°，
∴∠ABM+∠DBN=90°，
∴∠BAM=∠DBN，
∴△ABM∽△BDN，
∴

，即

，
∴DN=8，
∴D（8，-2），
将D坐标代入y=

得：k₂=-16；

（2）符合条件的F坐标为（0，-8），理由为：

由y=2x+2，求出C坐标为（-1，0），
∵OB=ON=2，DN=8，
∴OE=4，
可得AE=5，CE=5，AC=2

，BD=4

，∠EBO=∠ACE=∠EAC，
若△BDF∽△ACE，则

，即

，
解得：BF=10，
则F（0，-8）．
综上所述：F点坐标为（0，-8）时，△BDF∽△ACE．

举一反三

已知y=y₁-y₂，y₁与x+2成正比例，y₂与x成反比例，且当x=1时，y=4；当x=2时，y=7．
（1）求y与x的函数关系；　
（2）求x=

时，y的值．

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如图1，直线y=-x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，交双曲线y=

(x＜0)于点N，连ON，且S_△OBN=10．

（1）求双曲线的解析式；
（2）如图2，平移直线BC交双曲线于点P，交直线y=-2于点Q，∠FCB=∠QBC，PC=QB求平移后的直线PQ的解析式；
（3）如图3，已知A（2，0）点M为双曲线上一点，CE⊥OM于M，AF⊥OM于F，设梯形CEFA的面积为S，且AF•EF=

S，求点M的坐标．

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如图，已知反比例函数y=

的图象经过第二象限内的点A（-2，m），AB⊥x轴于B，△AOB的面积为3，
（1）求k，m的值；
（2）若直线y=ax+b经过点A，并且经过反比例函数y=

的图象上另一点C(n，-

)．
①求直线y=ax+b的解析式；
②设直线y=ax+b与x轴交于点M，求AM的长；
③根据图象写出使反比例函数y=

＞y=ax+b的值x的取值范围．

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如图，直线y=x+b（b≠0）交坐标轴于A、B两点，交双曲线y=

于点D，过D作两坐标轴的垂线DC、DE，连接OD．
（1）求证：AD平分∠CDE；
（2）是否存在直线AB，使得四边形OBCD为平行四边形？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．

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如图所示，OACB是矩形，C（a，b），点D为BC中点，反比例函数y=

的图象经过点D且交AC于点E．
（1）求证：△AOE与△BOD的面积相等；
（2）求证：点E是AC的中点；
（3）当OE⊥DE时，试求OB²-OA²的值．

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