如图,已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线,这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B,且OA=OB=1,这条曲线是函数y=12x的图象在第一限内的一个分支,点P是

如图,已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线,这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B,且OA=OB=1,这条曲线是函数y=12x的图象在第一限内的一个分支,点P是

题型:不详难度:来源:
如图,已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线,这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B,且OA=OB=1,这条曲线是函数y=
1
2x
的图象在第一限内的一个分支,点P是这条曲线的任意一点,它的坐标是(a,b),由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN(点M、N为垂足)分别与直线AB相交于点E和F.
(1)求△OEF的面积(a,b的代数式表示);
(2)△AOF与△BOE是否一定相似?如果一定相似,请证明;如果不一定相似,请说明理由;
(3)当点P在曲线上移动时,△OEF随之变动,指出在△OEF的三个内角中,是否有大小始终保持不变的角?若有,请求出其大小;若没有,请说明理由.
答案
(1)根据题意,易知:直线AB的解析式为y=-x+1,
点E的坐标是(a,1-a),点F的坐标是(1-b,b),
当PM、PN与线段AB都相交时,如图1,
∴S△EOF=S△AOB-S△AOE-S△BOF
=
1
2
×1×1-
1
2
×1×(1-a)-
1
2
×1×(1-b)

=
a+b-1
2

当PM、PN中有一条与AB相交,另一条与BA延长线或AB延长线相交时,如图2和图3,
∴S△EOF=S△FOA+S△AOE=
1
2
×1×b+
1
2
×1×(a-1)=
a+b-1
2

∴S△EOF=S△FOB+S△BOE=
1
2
×1×(b-1)+
1
2
×1×a=
a+b-1
2

即S△EOF=
a+b-1
2


(2)△AOF和△BEO一定相似.
∵如图1,OA=OB=1,
∴∠OAF=∠EBO,
∴BE=BA-AE=


2
-


(1-a)2+(1-a)2
=


2
a

AF=BA-BF=


2
-


(1-b)2+(1-b)2
=


2
b

∵点P是函数y=
1
2x
图象上任意一点,
b=
1
2a
,即2ab=1,


2


2
b=1即,AF•BE=OB•OA,
AF
OB
=
OA
BE

∴△AOF△BEO,
∵对图2,图3同理可证,
∴△AOF△BEO;

(3)当点P在曲线上移动时,在△OEF中,∠EOF一定等于45°,
由(2)知,△AOF△BEO,
∴∠AFO=∠BOE,
如图1,在△BOF中,∠AFO=∠BOF+∠B,
而∠BOE=∠BOF+∠EOF,
∴∠EOF=∠B=45°,
对图2,图3同理可证,
∴∠EOF=45°.
举一反三
反比例函数y=
m
x
(m>0)第一象限内的图象如图所示,△OP1B1,△B1P2B2均为等腰三角形,且OP1B1P2,其中点P1,P2在反比例函数y=
m
x
(m>0)的图象上,点B1,B2在x轴上,则
B1B2
OB1
的值为______.
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如图,菱形OABC的顶点B在y轴上,顶点C的坐标为(-3,2),若反比例函数y=
k
x
(x>0)的图象经过点A,则k的值为(  )
A.-6B.-3C.3D.6

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如图,直线y=kx+4与函数y=
m
x
(x>0,m>0)的图象交于A、B两点,且与x、y轴分别交于C、D两点.
(1)若△COD的面积是△AOB的面积的


2
倍,求k与m之间的函数关系式;
(2)在(1)的条件下,是否存在k和m,使得以AB为直径的圆经过点P(2,0)?若存在,求出k和m的值;若不存在,请说明理由.
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已知:O是坐标原点,P(m,n)(m>0)是函数y=
k
x
(k>0)上的点,过点P作直线PA⊥OP于P,直线PA与x轴的正半轴交于点A(a,0)(a>m).设△OPA的面积为s,且s=1+
n4
4

(1)当n=1时,求点A的坐标;
(2)若OP=AP,求k的值;
(3)设n是小于20的整数,且k≠
n4
2
,求OP2的最小值.
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已知矩形的面积为20,则它的长y与宽x之间的关系用图象表示大致为(  )
A.B.C.D.
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