试题分析:(1)由点A的坐标为(-1,0)可得:OA=1; (2)根据抛物线 过点A (-1,0),得到:b = c+ ,联立 ,求出b,c的值即可; (3)①分两种情况进行讨论:(Ⅰ)当﹣1<x<0时;(Ⅱ)当0<x<4时; ②由0<S<5,S为整数,得出S=1,2,3,4.分两种情况进行讨论:(Ⅰ)当﹣1<x<0时,(Ⅱ)当0<x<4时. 试题解析:(1)OA=1; (2)∵抛物线 过点A (-1,0), ∴b=c+ , ∵ , ∴ , ∵c<0, ∴ , ∴ , ∴抛物线的解析式 ; (3)①设点P坐标为(x, ). ∵点A的坐标为(﹣1,0),点B坐标为(4,0),点C坐标为(0,﹣2), ∴AB=5,OC=2,直线BC的解析式为y= x﹣2. 分两种情况: (Ⅰ)当﹣1<x<0时,0<S<S△ACB. ∵S△ACB= AB•OC=5, ∴0<S<5; (Ⅱ)当0<x<4时,过点P作PG⊥x轴于点G,交CB于点F. ∴点F坐标为(x, x﹣2), ∴PF=PG﹣GF=﹣( x2﹣ x﹣2)+( x﹣2)=﹣ x2+2x, ∴S=S△PFC+S△PFB= PF•OB= (﹣ x2+2x)×4=﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4, ∴当x=2时,S最大值=4, ∴0<S≤4. 综上可知0<S<5; ②∵0<S<5,S为整数, ∴S=1,2,3,4. 分两种情况: (Ⅰ)当﹣1<x<0时,设△PBC中BC边上的高为h. ∵点A的坐标为(﹣1,0),点B坐标为(4,0),点C坐标为(0,﹣2), ∴AC2=1+4=5,BC2=16+4=20,AB2=25, ∴AC2+BC2=AB2,∠ACB=90°,BC边上的高AC= . ∵S= BC•h,∴h= . 如果S=1,那么h= ×1= < ,此时P点有1个,△PBC有1个; 如果S=2,那么h= ×2= < ,此时P点有1个,△PBC有1个; 如果S=3,那么h= ×3= < ,此时P点有1个,△PBC有1个; 如果S=4,那么h= ×4= < ,此时P点有1个,△PBC有1个; 即当﹣1<x<0时,满足条件的△PBC共有4个; (Ⅱ)当0<x<4时,S=﹣x2+4x. 如果S=1,那么﹣x2+4x=1,即x2﹣4x+1=0, ∵△=16﹣4=12>0,∴方程有两个不相等的实数根,此时P点有2个,△PBC有2个; 如果S=2,那么﹣x2+4x=2,即x2﹣4x+2=0, ∵△=16﹣8=8>0,∴方程有两个不相等的实数根,此时P点有2个,△PBC有2个; 如果S=3,那么﹣x2+4x=3,即x2﹣4x+3=0, ∵△=16﹣12=4>0,∴方程有两个不相等的实数根,此时P点有2个,△PBC有2个; 如果S=4,那么﹣x2+4x=4,即x2﹣4x+4=0, ∵△=16﹣16=0,∴方程有两个相等的实数根,此时P点有1个,△PBC有1个; 即当0<x<4时,满足条件的△PBC共有7个; 综上可知,满足条件的△PBC共有4+7=11个. 故答案为 +c,﹣2c;11.
. |